練習問題の答えと理由
Practice Questions: Answers and Notes
本の各章の最後にある「答えと理由」と同じ内容です。先生用の採点の目安は、ここには載せません。
第1章：統計の資格試験（3級）のしくみと学び方
自己チェック
自己チェック（1節）
- データの意味を読み取る力と、データの不確かさを考えて根拠から結論を出すことです。
- 202004版です。
自己チェック（2節）
- 受験を希望する地域の会場・日程を運営案内で確かめ、会場へ申し込みます。
- 計算用紙と専用の筆記具、統計数値表は会場で用意され、試験後に回収されます。
自己チェック（3節）
- 問題数のおよその目安です。30問ちょうどと決まっている意味ではありません。
- 決められません。問題ごとの配点が同じとは限らず、正答数への換算は案内されていないからです。
- 自分の練習用の配分と、公式が示す試験条件を分けて記録します。公式の出題順や配点を予想しません。
自己チェック（4節）
- 求めるものを確認し、式を書く。数字を代入し、計算して、単位や対象とともに意味を説明します。割合では部分を全体で割り、たとえば12人÷20人＝0.6＝60％です。
- 計算の誤りです。
- 例：「割合の練習を3問解き、部分・全体を示した式と百分率を答え合わせする。」何をするか、何を見て終わりとするかが書けていれば具体的な計画です。
確認問題
Q1 正答はAです。公式案内は60分です。Bの45分、Cの50分、Dの90分は公式値ではありません。
Q2 正答はBです。公式案内の基準は100点満点で65点以上です。Aは基準点を60点に変えています。Cは満点を80点に変えています。Dは問題数から正答数へ換算していますが、その換算方法は公式案内にありません。
Q3 正答はDです。会場・日程は運営案内で確認し、希望する会場へ申し込みます。Aは範囲表、Bは過去データ、Cは教材の情報で、申込前に会場日程を確かめる場所ではありません。
Q4 正答はAです。学習計画に使う範囲表は、試験日に適用される版で確かめます。Bは申込時点の版で止まり、試験日の適用時期を反映していません。Cは公開日の新しさだけを比べ、適用時期を確認していません。Dは文書の日付だけを見て、適用時期を読んでいません。
Q5 正答はCです。統計数値表は会場が配り、試験後に回収します。Aは配布者は合いますが、持ち帰る点が違います。Bは受験者が持参し持ち帰る点が違います。Dは受験者が持参する点が違います。
Q6 正答はBです。許可対象は四則演算・百分率・平方根を使える普通・事務用電卓です。Aは統計関数を使う関数電卓、Cは図を表示するグラフ電卓、Dは携帯端末上のアプリで、いずれも案内された電卓の種類に当たりません。
練習
1-1 CBT、30問程度、60分、100点中65点以上、範囲表202004版です。確認日があれば、情報の時点が分かり、変更後に再確認できます。
1-2 例1は確認5分・解答45分・見直し10分。例2は解ける問題45分・迷った問題10分・確認5分です。練習案と明記し、見直し時間を入れる理由を書きます。
1-3 例：待ち時間（分）を記録し、平日5日の利用者から時間帯ごとに無作為に選びます。時間帯別の中央値を比べ、他の日へ広げるときは選び方の偏りに注意します。対象・抽出・指標・限界があればよいでしょう。
グループで話そう
例：「グラフの軸・単位・対象を読み、結果を説明する」。行動と終わりの条件が具体的で、自分で確かめられればよいです。
第2章：データの種類・調査・実験
自己チェック
自己チェック（1節）
- 学生番号は個人を識別するラベルです。番号の大小・差・比に数量の意味がないため、質的変数で名義尺度です。
- 順序尺度です。順番はありますが、低から中、中から高の差が等しいとは限りません。
- 摂氏温度の0℃は、温度が存在しないことを意味しないからです。差には意味がありますが、温度の比には使えません。
自己チェック（2節）
- 母集団は調査で知りたい対象全体で、標本は母集団から調べるために選んだ対象の集まりです。
- 抽出枠から母集団の一部が漏れていると、乱数を使っても漏れた人は選べません。また、標本の人数が大きくても抽出枠の不足は解消しません。
- 選んだ人数、回答した人数、無回答の人数を分けて記録します。質問ごとの空欄も残すと、回答の状況を確認できます。
自己チェック（3節）
- 観察研究です。研究者が自習方法を割り当てず、普段の状態を記録しています。
- 対照群は、処理群の結果を比べる基準になります。両群で結果の測り方などをそろえて比較します。
- 無作為抽出は母集団から調査対象を選びます。無作為割付は研究参加者を実験条件の群へ振り分けます。
自己チェック（4節）
- 母集団は学校の在籍学生です。回答した学生は、そのうち教室にいた人などに限られ、母集団全員とは異なる可能性があります。
- 自習場所は名義尺度です。満足度「低・中・高」は順序尺度です。
- 抽出枠に母集団の全員が含まれているか、選んだ人数、回答者数、無回答数、回答者の偏りを確認します。
確認問題
Q1 正答はCです。学生番号は個人を識別するラベルで、番号の大小や差に数量の意味がないため名義尺度です。Aは番号に順位の意味があるとしていますが、その意味はありません。Bは差に意味がある尺度ですが、番号の差は量の差ではありません。Dは差と比に意味がある尺度ですが、番号の比も数量を表しません。
Q2 正答はBです。対象の60人全員に質問し、全員の回答を集めるので全数調査です。Aは20人、Dは40人だけを選ぶ標本調査です。Cは教室にいた人だけの回答で、対象全員を調べていません。
Q3 正答はDです。低・中・高には順序がありますが、隣り合う段階の差が等しいとは限らないため順序尺度です。Aの名義尺度は種類を分けるだけで、順序を表しません。Bの間隔尺度は値の差に意味がある尺度ですが、満足度の段階差は等しいと決めていません。Cの比例尺度は0が量の不存在を示す尺度で、この段階には当てはまりません。
Q4 正答はAです。無作為抽出は母集団から調査対象を選ぶ手順で、無作為割付は実験参加者を条件の群へ振り分ける手順です。Bは二つを同じ意味とし、目的の違いを見落としています。Cは抽出と割付の役割を逆にしています。Dは全員を調べる方法としており、全数調査と混同しています。
Q5 正答はDです。抽出台帳から対象の一部が漏れると、乱数を使っても漏れた人は選ばれません。Aは母集団全員が台帳に載っている例で、枠の漏れを示しません。Bは乱数表を使って選ぶ手順で、台帳の範囲が欠ける例ではありません。Cは人数を調査後に記録することで、対象が台帳から漏れることとは別です。
Q6 正答はCです。両群で結果の測り方をそろえ、処理以外の条件も確かめると、群の差を処理の効果として解釈しやすくなります。Aは処理の前からある群の違いを処理の効果と混同しています。Bは処理群だけ別の方法で測ると、測り方の違いと処理の違いを分けられません。Dは無作為に群分けしても、学校全体へ当てはまるとは限りません。
練習
2-1 専攻名は質的変数・名義尺度です。満足度は質的変数・順序尺度です。勉強時間は量的変数・比例尺度です。摂氏温度は量的変数・間隔尺度です。変数の種類と尺度がそれぞれ答えられていればよいでしょう。
2-2 例：全学生を母集団とし、その全員が載った名簿を抽出枠として確認します。名簿に番号を付け、乱数表などから異なる番号を30個選びます。範囲外の番号と重複を飛ばします。選んだ30人、回答した人数、無回答の人数を分けて記録します。
2-3 薬の利用者の状態を記録する調査は観察研究で、研究者が薬の使用を割り当てていません。参加者を処理群へ無作為に割り当てる研究は実験研究です。処理以外の条件や測定方法を確かめ、観察研究の関連だけで原因を決めないことが必要です。
考えよう
回答しなかった人の意見が回答者と同じとは限りません。答えやすい人だけが回答した可能性があります。選んだ人数と回答者数、無回答数、質問ごとの空欄を記録します。回答を依頼した方法や、回答者と未回答者に分かる範囲の違いを確認する案も考えられます。
グループで話そう
例：問いを「昼休みに利用できる学習場所を知りたい」とします。母集団を「この学校の在籍学生」、標本を「在籍者名簿から無作為に選ぶ学生」、抽出枠を「全員を含む名簿」と書けます。記録する変数は利用したい場所で、名義尺度です。全員を調べないなら標本調査です。結果には抽出方法と無回答の状況を添えます。別の問いでも、対象と選び方、尺度、説明範囲が整合していればよいでしょう。
第3章：表とグラフで分布を読む
自己チェック
自己チェック（1節）
- 5, 7, 7, 8, 9の5件です。5以上10未満なので、5を含み10を含みません。
- 度数を全体のデータ数で割ります。
- 8件です。第1階級と第2階級の度数を足します。
自己チェック（2節）
- 数値の階級が連続しており、隣の範囲とつながるためです。
- 度数です。度数密度に階級幅をかけた長方形の面積が度数になります。
- 23です。幹の2が十の位、葉の3が一の位です。
自己チェック（3節）
- 棒グラフです。種類ごとの人数を棒の長さで比べられます。
- バブルチャートです。横軸と縦軸に加え、円の大きさで第三の量を表します。
- 左右の軸の単位と、各系列がどちらの軸に対応するかを確かめます。
自己チェック（4節）
- 何の対象か、どの期間か、単位が何かを確認します。図の作成者に尋ねることもできます。
- 割合は分母に対する比だからです。分母が変わると同じ割合でも実人数が異なり、割合の比較にも条件の違いが関わります。
- いいえ。回数と割合は単位が違うので、各軸の値として別に読みます。
確認問題
Q1 正答はBです。5以上10未満に入るのは6, 6, 8の3件です。Aは6か8を1件数え落としています。Cは右端の10を階級に含めています。Dは下端の5より小さい3と4を含めています。
Q2 正答はCです。「3」は3回あるので、3÷6=3/6=0.5です。Aは「3」を1回と数えた場合、Bは2回と数えた場合、Dは4回と数えた場合の割合です。
Q3 正答はBです。図3-3では境界10の点が0.80にあり、全データの80％が10未満であることを表します。Aの0.30は境界5、Cの0.90は境界15、Dの1.00は境界20での値です。
Q4 正答はAです。順に足すと2、2+5=7、7+3=10です。Bは累積せず元の度数を並べています。Cは最後の度数を3ではなく1と読んだ値です。Dは逆の順に並べています。
Q5 正答はBです。全データの割合は1（100％）です。Aは全体が0％という値です。Cは4分の1、Dは半分だけの値で、全階級を合わせた割合ではありません。
Q6 正答はDです。階級値は両端の中点なので、(2+8)÷2=5です。Aは下端、Cは上端です。Bは階級の幅で、中点ではありません。
練習
3-1 度数は2, 1, 2, 1、相対度数は0.33, 0.17, 0.33, 0.17、累積度数は2, 3, 5, 6です。度数合計と最後の累積度数は6です。
3-2 10は第3階級「10以上15未満」に入ります。10は階級の左端なので含まれます。
3-3 境界15の値は0.90、境界10では0.80です。前者は全体の90％が15未満であることを表し、境界10より0.10高くなっています。
考えよう・グループで話そう
3-4 人数の増加が、対象者全体の増加によるものか、割合の変化によるものかは高さだけでは分かりません。調査対象数や割合、各時点の条件を確かめます。回答例は一つではありません。
3-5 度数分布表は階級ごとの正確な個数、ヒストグラムは階級ごとの形、幹葉図は元の数値と分布の形を確認しやすいです。見せる順は目的によります。理由が図の特徴と合っていればよいです。
ワークシート
表3-4では、題、対象、期間、軸、単位、分母、凡例を記入します。読み取れることと、不明なことを分けて書けていれば完成です。割合と人数を同じ値として扱わないようにします。
第4章：代表値と散らばり
自己チェック
自己チェック（1節）
- 4番目と5番目の値を使い、その平均を求めます。
- 例：1, 1, 3, 3, 5 です。最頻値は1と3です。
- 平均値です。合計を個数で割るため、全ての値を使います。
自己チェック（2節）
- 最大値−最小値です。
- この章の方法では、全体の中央値を上下の半分から外します。
- Q3−Q1、つまり四分位範囲です。
自己チェック（3節）
- n（データ数）で割ります。
- 同じです。分散の平方根を取るので、元のデータと同じ単位に戻ります。
- できません。分母が0になるため、変動係数は定義できません。
自己チェック（4節）
- 記録の確認前に値を除くと、実際の値による結果の変化を誤って消すためです。
- 中央値は4.5、最大値は8です。
- 確認した根拠と修正内容を残します。
確認問題
Q1 正答はDです。値を小さい順に並べ、中央値で上下に分けると、下半分は2, 4, 5, 7、上半分は8, 10, 12, 15です。下の四分位数（Q1）は下半分の中央値4.5、上の四分位数（Q3）は上半分の中央値11で、四分位範囲は11−4.5=6.5です。Aは下の四分位数Q1、Bは上の四分位数Q3、Cは最大値と最小値の差（範囲）です。
Q2 正答はAです。中央2値4と5の平均は4.5です。Bは前の値だけ、Cは後の値だけを使っています。Dの6.0は小さい方から6番目の値で、中央2値（4番目と5番目）の位置とずれています。
Q3 正答はDです。合計20を4個で割ると5です。Aは元データの4、Cは元データの6で、平均ではありません。Bの20は合計を個数で割らずに答えた値です。
Q4 正答はBです。元の5個の平均は20÷5で4、中央値は3番目の4です。30を加えた6個（2, 3, 4, 5, 6, 30）の平均は50÷6で約8.3に大きく増えます。中央値は3番目と4番目の4と5の平均で4.5になり、0.5しか変わりません。Aは中央値が大きく増えるとしている点、Cは平均が変わらないとしている点、Dは平均が減るとしている点で、いずれも計算と合いません。
Q5 正答はAです。最大値9から最小値3を引くと6です。Bはデータ数、Cは最大値と最小値の和、Dは範囲を求めず、データの中の値5をそのまま答えた値です。
Q6 正答はDです。合計112を6で割ると平均18.67、中央の2と3を平均すると中央値2.5です。Aは二つの指標を入れ替えています。Bは合計を平均とし、中央値も中央2値の平均にしていません。Cは平均は正しいものの、中央値を中央2値の平均にしていません。
練習
4-1 合計56を9で割ると平均値は6.22です。中央値は5番目の5です。3と5がそれぞれ2回なので、最頻値は3と5です。範囲は20−2＝18です。
4-2 平均値は56/9です。値の二乗和は588、偏差平方和は588−56²/9＝2156/9です。データ数9で割ると分散は2156/81＝26.617…、標準偏差は√(2156/81)≒5.159…です。小数第2位までなら26.62、5.16です。
4-3 下半分は2, 3, 3, 4、上半分は5, 6, 8, 20です。Q1＝(3＋3)÷2＝3、Q3＝(6＋8)÷2＝7、四分位範囲は7−3＝4です。五数要約は2, 3, 5, 7, 20です。この図の約束では、ひげは最小値2から最大値20まで伸び、他の値から離れた20も含みます。外れ値を別点で示す図では凡例に従います。
4-4 平均値は68÷8＝8.50、中央値は(6＋9)÷2＝7.50、最頻値は4、範囲は18−2＝16です。Q1＝(4＋4)÷2＝4.00、Q3＝(11＋14)÷2＝12.50、四分位範囲は12.50−4.00＝8.50です。偏差平方和は794−68²÷8＝216、分散は216÷8＝27.00、標準偏差は√27＝5.20です。変動係数は√27÷8.50＝0.61（約61％）です。仮定した比例尺度で、標準偏差が平均の約61％と読めます。
4-5 50＋10×(72−60)÷8＝65です。平均との差12点は標準偏差1.5個分なので、平均より1.5個分高い位置です。
4-6 階級値×度数は20, 100, 90で合計210、度数合計は10です。近似平均は210÷10＝21です。
考えよう・グループで話そう
考えよう：平均値は外れ値の影響を大きく受け、中央値は順位で決まるため影響を受けにくいです。両方を示すと、値が結果に与える影響が見えます。削除する前に、記録の誤りかどうかを確かめ、確認した根拠と処理を残します。
グループで話そう：平均値と中央値の両方を示し、値の影響と確認の手順が含まれていればよいです。
ミニ会話の内容：平均と中央値の違い、記録を確認する考えがあればよいでしょう。
第5章：2つの変数―相関と回帰
自己チェック
自己チェック（1節）
- 16人です。自習室の行の合計を分母にします。
- 16人です。窓側の列の合計を分母にします。
- 条件にする集まりが違い、分母が24人と16人に変わるからです。
自己チェック（2節）
- 散布図です。
7.5÷(√5×√11.25)=1です。- 直線で表す線形な関連が弱いと考えます。曲線の関係がないとは限りません。
自己チェック（3節）
- 擬相関です。
- 例：第三の変数や、どちらが先に変化したかを確かめます。
- 無作為抽出は調査対象の選び方、無作為割付は実験条件の分け方です。
自己チェック（4節）
- 一方の変数から他方の変数を予測するために使います。
- 予測値が1.5増えます。
- 外挿です。x＝12は観測した2〜8の範囲の外なので、傾向が続くか追加の根拠が必要です。
確認問題
Q1 正答はAです。正の相関から言えるのは、標本で二つの変数が一緒に増える傾向です。Bは直線の傾きまで決めていますが、正の相関だけでは増加量は分かりません。Cは時間の順序を示す情報がないのに、先行したとしています。Dは他の変数をそろえた比較ですが、その条件は示されていません。
Q2 正答はBです。関連があっても、第三の変数や逆方向など別の説明が残ることがあります。Aは関連が強ければ第三の変数を無視できるとしていますが、強さだけでは第三の変数の有無は分かりません。Cは関連だけで時間の順序を決めています。Dは無作為抽出と、実験で処理条件を割り当てる方法を混同しています。
Q3 正答はCです。r＝0.98は強い正の線形関連を示します。Aは原因と結果の向きまで決めています。Bはr＝1ではないのに、全点が一本の直線上にあるとしています。Dは相関係数を割合として読んでいます。
Q4 正答はDです。傾き1.5は、xが1増えると予測値が1.5増えることを表します。AとBは切片1を変化量として読んでいます。Cは傾きの符号を逆にしています。
Q5 正答はAです。気温とともに販売数・利用者数の両方が増えていますが、表だけでは因果の向きは決められません。Bは時間の前後だけで原因と結果を決めています。Cは同方向の動きだけで直接の関連としていますが、気温など別の説明が残ります。Dは気温を測っただけで、その影響を除いた比較を行ったとはいえません。
Q6 正答はDです。観測範囲2〜8の外にあるx＝12の予測は外挿で、傾向が続くか別の根拠が必要です。Aは範囲外を補間と呼んでいます。Bも範囲外を補間と呼び、根拠なしに信頼できるとしています。Cは外挿ですが、傾向が必ず続くと誤って決めています。
練習
5-1 図書室を使う人のうち窓側を選ぶ割合は、10÷24＝0.4166…で約41.7％です。窓側を選ぶ人のうち図書室を使う割合は、10÷16＝0.625で62.5％です。前者は図書室の行合計24人、後者は窓側の列合計16人が分母です。
5-2 平均はx̄＝2.5、ȳ＝5です。偏差積は順に4.5、0、0、4.5、合計9です。共分散は9÷4＝2.25です。xの偏差平方和は5、分散は5÷4＝1.25です。yの偏差平方和は18、分散は18÷4＝4.5です。相関係数は2.25÷(√1.25×√4.5)＝0.94868…なので、小数第3位まで0.949です。
5-3 ŷ＝3＋2×9＝21 です。x＝9は観測範囲1〜5の外なので外挿です。範囲の外でも同じ関係が続くとは限らず、追加の根拠が必要です。
5-4 平均はx̄＝2、ȳ＝11/3です。偏差積は順に5/3、0、4/3、合計3です。共分散は3÷3＝1です。xの偏差平方和は2、分散は2/3です。yの偏差平方和は14/3、分散は14/9です。相関係数は1÷(√(2/3)×√(14/9))＝√(27/28)＝0.98198…なので0.982です。傾きはb＝1÷(2/3)＝1.5、切片はa＝11/3−1.5×2＝2/3です。回帰式はŷ＝2/3＋1.5xです。点は右上がりで強い正の線形関連が見られますが、因果関係は決められません。
考えよう・グループで話そう
例：「生活リズムや授業の時間が運動と睡眠の両方に関係するかもしれない。どちらが先か、対象をどのように選んだかを調べたい。」別の要因・逆方向・選択の偏りのいずれかに触れ、追加で調べたい情報を挙げていればよいでしょう。
ミニ会話の内容：右上がりの関連は見えますが、学習時間が点数を上げたとはまだ言えません。第三の変数、時間の順序、調査対象の選び方、観測範囲を確かめるという内容があればよいでしょう。
ワークシートの答えと理由
記入例は、行割合が10÷24＝約41.7％、列割合が10÷16＝62.5％です。穴埋めは左から右へ上向き、x̄＝5、ȳ＝8.5、共分散7.5、r＝1です。因果関係は図だけでは決められません。自分で書く欄は、変数と単位、対象と期間、読み取った関連、追加で調べたいことが区別されていればよいでしょう。
第6章：時系列データを読む
自己チェック
自己チェック（1節）
- 横軸に時間、縦軸に測った値と単位を示します。
- 縦軸の範囲と、実際の数値の差を確かめます。
- 値がどの時間の後に記録されたかという順序です。
自己チェック（2節）
- 900÷1000×100＝90です。
- 基準の1.20倍です。
- 基準時点、対象、単位、期間が同じか確認します。
自己チェック（3節）
- 3点です。
- 5月です。4月から6月の中央の月です。
- 4月と7月です。中央に3点をそろえられません。
自己チェック（4節）
- 4月の値の1.20倍です。
- 6月です。5、6、7月の3点の中央にあたります。
- 断定できません。4か月は翌月を決める情報ではありません。
確認問題
Q1 正答はCです。920÷800×100＝115です。Aは基準値と比較値を逆にした比で、100をかけた値に近くなります。Bは二つの値が等しい場合の指数です。Dは二つの値の差120をそのまま答えた値で、指数は差ではなく比で求めます。
Q2 正答はDです。(6＋9＋12)÷3＝9です。Aは最初の観測値の6、Bは窓の三つのうち二つ（9と12）だけの平均の10.5、Cは三つの値の合計の27です。
Q3 正答はAです。40÷50×100＝80です。Bは100から差10（50−40）を引いた値、Cは基準時点の指数、Dは分子と分母を逆にした指数です。
Q4 正答はBです。指数120は、基準月の値を100としたとき、その月の値が1.2倍、つまり基準月より20％大きいことを表します。Aは人数の差として読んでいますが、基準月の人数が分からなければ20人とはいえません。Cは基準月と同じ値を表す指数で、100です。Dは増減の向きを逆にしています。
Q5 正答はAです。1〜3月の平均は(4＋8＋12)÷3＝8で、中央の2月に置きます。2〜4月の平均は(8＋12＋16)÷3＝12で、中央の3月に置きます。Bは平均を窓の先頭に置き、Cは二つの計算値を逆にし、Dは平均を窓の末尾に置いています。
Q6 正答はDです。指数は基準に対する値なので、基準時点を明記すると比較の意味が分かります。Aは基準時点を0として差で比べる考え方で、指数は基準時点を100として比で表します。Bは短期の変動をならす移動平均の目的です。Cは指数を元の人数そのものと取り違えています。
練習
6-1 指数＝1200÷1000×100＝120です。比較値は基準値の1.2倍です。
6-2 (1200＋1500＋1800)÷3＝1500人です。3か月の中央は5月なので、5月に置きます。
6-3 (15＋18＋21)÷3＝18です。3時点の中央である6月に18を置きます。
6-4 4月の指数は100です。5月は100÷120×100＝83.33、6月は140÷120×100＝116.67、7月は160÷120×100＝133.33です。7月の値は4月の約1.33倍で、6月の指数より高いです。小数第2位まで示しました。
考えよう・グループで話そう
数値の差はどちらの図でも同じです。縦軸を800から始めると上下の動きが大きく見えやすくなります。説明には、軸の範囲と実際の差の両方があればよいでしょう。4か月の中で増減があり、長期の傾向や翌月の値までは決められないと書けます。
ミニ会話の内容：基準時点と単位、縦軸の範囲、平均を置く月が説明できていればよいでしょう。
第7章：確率と期待値
自己チェック
自己チェック（1節）
- 奇数が出る事象は{1, 3, 5}です。
- 事象の結果数を標本空間の結果数で割ります。同じ確からしさが前提です。
- それぞれの確率を足します。
自己チェック（2節）
- 前の結果は次の試行の確率に影響しません。
- 1/2×1/2＝1/4です。二回とも表になる並びは一つで、全体は4通りです。
- 4個です。赤1個と青3個が残ります。
自己チェック（3節）
- Bです。縦線の右側が条件を示します。
- 3/4です。赤を取った後は4個中3個が青です。
- Aと条件Bが同時に起きる場合です。
自己チェック（4節）
- 偶然の結果に応じて値が決まります。
- 1×1/2＋0×1/2＝1/2です。
- 毎回0点になることや、一回の結果の予言ではありません。
確認問題
Q1 正答はBです。1回目に赤を取ると、残りは赤2個・青2個の4個です。その中で青は2個なので2/4＝1/2です。Aは条件を付けない2回目が青の割合（2/5）、Cは1回目が赤の割合（3/5）です。Dは赤を取った後に残る赤を1個と数えた誤りで、赤1個・青2個の3個で割った値です。
Q2 正答はCです。少なくとも1回6の11通り中、合計7は(1,6),(6,1)の2通りです。Aは条件を使わず、合計7の確率（6÷36＝1/6）を答えています。Bは順序の一方だけを数え、Dは条件を使わず、全36通りを分母にしています。
Q3 正答はDです。独立な事象の同時確率は積なので、0.3×0.4＝0.12です。AとBは片方だけの確率です。Cは二つの確率を足しています。
Q4 正答はAです。偶数は3結果なので3/6＝1/2です。Bは一つの目の確率です。Cは偶数を二つと数えた割合、Dは四つと数えた割合です。
Q5 正答はCです。P(A|B)では、条件Bの集まりを分母にします。ここでは3以上の目（4, 5, 6）の3通りです。Aは求める事象の偶数、Bは分子に入る偶数かつ3以上（4, 6）、Dは条件で絞る前の全事象です。
Q6 正答はBです。0.4×30＋0.6×(−20)＝0.0点です。Aは当たりだけ、Cは外れだけを使い、Dは確率を掛けていません。
練習
7-1
順序を区別した結果は8通りです。ちょうど2回表となるのは表表裏、表裏表、裏表表の3通りです。確率は3/8です。
7-2
J、Q、Kは4種類のマークに各1枚ずつあり、絵札は12枚です。赤い絵札はハートとダイヤのJ、Q、Kで6枚です。条件に合う絵札12枚を分母とするため、確率は6/12＝1/2です。
7-3
期待値は90×0.1＋(−10)×0.9＝9−9＝0点です。確率と得点を一組ずつ掛けて足します。
7-4
期待値は20×0.25＋(−8)×0.75＝5−6＝−1点です。これは一回の得点を予言しません。一回の得点は+20点または−8点です。−1点は繰り返した場合の平均の中心です。
考えよう・グループで話そう
コインを1回投げたとき、表の割合は0か1です。投げる回数を増やすと割合は変化しますが、毎回同じになるとは限りません。答えには、1回の結果と複数回の割合の違いがあればよいでしょう。
分母は条件に合う結果の数です。1回目が赤なら、赤を除いた4個が次の抽出対象です。そのうち青は3個なので3/4です。一人で取り組む場合も、条件なしなら青3個を全5個から選ぶ3/5、条件ありなら残る4個から選ぶ3/4と比べられます。
ワークシート
残りは赤1個、青3個、合計4個です。条件Bに合う結果のうち、Aにも合う結果は3個です。したがって、P(A|B)＝3÷4＝3/4です。言葉の説明は「1回目が赤の後、残り4個中3個が青だから」です。結果の数、分母、説明が合っていることを確認します。
第8章：確率分布―二項分布と正規分布
自己チェック
自己チェック（1節）
- 0、1、2、3、4です。4回のうち表が出る回数なので、0回から4回まであります。
- 1です。確率変数がとる値をすべて含めると、起こりうる結果全体を表すためです。
- 1です。標準偏差は分散の0以上の平方根なので、√1＝1です。
自己チェック（2節）
- 試行ごとに同じ成功確率であることが必要です。
- 成功した回数Xです。各試行の結果を成功・失敗に分け、成功を数えます。
- 平均2、分散1です。平均np=4×0.5=2、分散np(1−p)=4×0.5×0.5=1です。
自己チェック（3節）
- 標準偏差σで割ります。z=(x−μ)÷σです。
- 行1.1、列0.03です。交わる値は0.1292です。
- 曲線の下の面積です。全体の面積が1になるように確率を表します。
自己チェック（4節）
- 24.5です。25以上の整数が入る範囲の左端を0.5だけ下げます。
- 平均20、標準偏差4です。np=100×0.2=20、分散は16で、その平方根が4です。
- 表の列がzを小数第2位まで区切っているためです。近似のため、丸めた値を読むことを示します。
確認問題
Q1 正答はDです。平均はnp=8×0.25=2です。Aは成功確率pだけです。Bはpを4倍し、Cは失敗確率を使って8×0.75としています。どれも平均npではありません。
Q2 正答はAです。分散はnp(1−p)=10×0.2×0.8=1.60です。Bはpだけ、Cは平均np、Dは失敗回数の期待値n(1−p)です。
Q3 正答はBです。分散は5×0.4×0.6=1.20なので、標準偏差は√1.20です。Aは分散を1と取り違え、Cは試行回数を6として計算した1.44の平方根を選び、Dはn−1=4を分散と取り違えています。
Q4 正答はCです。z=(84−72)÷8=1.5です。Aは平均との差の符号を逆にしています。Bは平均との差12で止め、Dは標準偏差8をそのまま答えています。どちらも差を標準偏差で割っていません。
Q5 正答はCです。二項分布は、独立なベルヌーイ試行で、各試行の成功確率pが同じ、回数nが決まっているときに使います。Aは前の結果に依存するため、独立の条件に反します。Bは回数に下限はなく、n≥100は条件ではありません。Dは回数nが決まっていなければ二項分布のnを定められません。
Q6 正答はAです。60以上の整数を含む連続範囲は59.5から始まるため、境界はY≥59.5です。Bは境界を59にして59を余分に含め、Cは境界を60.5にして60を含めず、Dは境界を61にして60を落とします。
練習
8-1 組合せは4C₂=6通りです。各並びの確率は(0.5)⁴=1/16なので、P(X=2)=6×1/16=6/16=0.375です。
8-2 平均はnp=4×0.5=2です。分散はnp(1−p)=4×0.5×0.5=1です。
8-3 z=(70−60)÷5=2です。値70は平均より標準偏差2個分高い位置です。
8-4 平均はnp=80×0.25=20です。分散はnp(1−p)=80×0.25×0.75=15、標準偏差は√15≈3.873です。27以上を連続補正し、境界は26.5です。z=(26.5−20)÷√15≈1.678なので、表を読む値は1.68です。表の行1.6、列0.08の上側確率は0.0465です。したがって、P(X≥27)は正規近似で約0.0465です。これは二項分布の厳密値ではありません。
グループで話そう
近似を使ったこと、境界を連続補正したこと、zを丸めて表を引いたことを伝えます。計算の条件と値の意味が分かります。表引きの値を厳密値と呼ばないようにします。
第9章：標本分布・区間推定・仮説検定
自己チェック
自己チェック（1節）
- 同じ条件で取り直した標本統計量の分布です。
- 標準偏差は個々のデータの散らばり、標準誤差は推定値を同じ方法で繰り返し得たときの標準偏差です。
- √{p(1−p)÷n} です。
自己チェック（2節）
- 標本から母数を一つの値で見積もります。
- 10÷√100＝1です。
- 同じ方法の区間の約95%が母数を含むという性質です。
自己チェック（3節）
- 帰無仮説はデータと比べる基準、対立仮説は帰無仮説と対比して調べる仮説です。
- 帰無仮説が正しいと仮定したとき、どの程度珍しい結果を棄却するかの基準として、検定前に定めます。
- 真の証明ではなく、証拠が不足したという判断です。
自己チェック（4節）
- 標本の選び方、独立性、母標準偏差が既知か、正規近似が使える標本かなどを確認します。
- 希望者は勉強への関心などが異なる可能性があり、比較に選び方の偏りが入るためです。
- 標本の対象・人数・選び方と、結果を当てはめられる範囲を示します。
確認問題
Q1 正答はAです。|1.4|<1.96なので棄却できません。Bは臨界値を超えた場合です。Cは非棄却を真の証明と誤解しています。Dも対立仮説の誤りを証明する判断ではありません。
Q2 正答はBです。標準誤差は標本平均の標本間の散らばりです。Aは母集団の中心、Cは母集団の割合、Dは棄却の基準です。
Q3 正答はBです。標準誤差は8÷√16＝2です。Aは標準偏差を標本人数で割り、Cは分母の√16の値4をそのまま答えています。Dは標準偏差をそのまま答えています。
Q4 正答はCです。±1.96は母集団が正規分布か標本平均を正規近似できる場合に使います。Aは標本平均の大小を条件にし、Bは人数だけで近似を決め、Dは母標準偏差と標本平均が等しい必要があると誤解しています。
Q5 正答はAです。同じ方法で作る区間の約95%が母数を含みます。Bは今回の区間の確率、Cは標本と母数の一致率、Dは帰無仮説の確率と誤解しています。
Q6 正答はBです。√{0.4×0.6÷64}≈0.061237です。Aは小数点をずらした値、Cは分子の積、Dは標本比率そのものです。
練習
9-1
標準誤差は√{0.60×(1−0.60)÷100}＝√0.0024＝0.048989…です。小数第3位まででは0.049です。
9-2
0.60±1.96×0.048989…です。下端は0.50398…、上端は0.69602…なので、小数第3位までで[0.504, 0.696]です。
9-3
帰無仮説のもとでの標準誤差は√{0.50×0.50÷100}＝0.05です。計算値は60÷100＝0.60、z＝(0.60−0.50)÷0.05＝2.0です。|2.0|>1.96なので、単純化した標準正規近似で帰無仮説を棄却します。これは母比率が0.50でないという証明ではありません。
9-4
標準誤差は10÷√25＝2、区間は52±1.96×2＝[48.08, 55.92]です。z＝(52−50)÷2＝1.0で、|1.0|<1.96のため棄却できません。母平均が50との証明ではなく、証拠不足という判断です。
考えよう・グループで話そう
95%は、母数を固定したまま同じ標本抽出と区間計算を繰り返したとき、作られた区間の約95%が母数を含むことを表します。今回の区間に母数が入る確率を95%と述べるものではありません。
希望者は関心や使える時間が異なるかもしれません。選び方の偏りを示し、全学生の効果と断定しない説明ができていればよいでしょう。
ワークシート
母数は母比率、標本比率は0.60、標本の大きさは100です。全学生名簿から無作為に選び独立と仮定します。標準誤差は√{0.60×0.40÷100}≈0.049、95%近似区間は[0.504, 0.696]です。対象は名簿上の学生で、希望者だけのケースとは異なる調査です。
第10章：総合演習―データから説明まで
自己チェック
自己チェック（1節）
- 140人です。
- 回答者140人です。
- 140人で、全体の人数を表します。
自己チェック（2節）
- 42÷140＝0.30＝30％です。
- 平均は約38.33分、中央値は35分です。
- 相関だけでは、他の要因や逆の関係を除けないためです。
自己チェック（3節）
- いいえ。任意回答者が全学生を代表するとは限りません。
- 抽出方法・標本の大きさ・計算方法などです。
- いいえ。仮説検定は条件のもとで標本結果を評価する方法です。
確認問題
Q1 正答はCです。35÷70＝0.5なので50％です。Aは35人をそのまま割合にした値です。Bは分母の70を割合の数値と取り違えています。Dは35人と70人を足して割合にしています。
Q2 正答はDです。週3回以上の割合の分母は、割合を計算する回答者全体の140人です（98人＋42人）。Aは分子の該当人数です。Bは該当しなかった人数で、全体ではありません。Cは該当人数と全体の人数を足した数で、分母として使う数ではありません。
Q3 正答はBです。42÷140＝0.30で、回答者内の割合は30％です。Aは分母を示さず回答者の範囲も表していません。Cは任意回答の結果を全学生に広げます。Dは割合から因果を断定しています。
Q4 正答はAです。設問の条件では無回答10人を除くので、140−10＝130人が分母になります。Bは割合の分子となる該当人数です。Cは無回答者を元の140人に足して二重計上しています。Dは無回答の10人を含むため、設問の条件では分母にしません。
Q5 正答はAです。760−920＝−160なので、160回減りました。Bは増減の向きを逆にしています。Cは差160を2で割った80回を答えています。Dは二つの月の値を足した1680回を答えています。
Q6 正答はDです。有意水準は、帰無仮説のもとで結果をどの程度珍しいとみなすか、事前に決める判断基準です。Aはp値の説明で、結果を見てから計算する値です。事前に決める有意水準とは別です。Bは帰無仮説が正しい確率と誤解しています。Cは標準化した値で、有意水準ではありません。
練習
10-1 専攻は質的変数・名義尺度、来館回数と学習時間は量的変数・比例尺度です。単位は人、回/週、分です。度数は35＋63＋10＋20＋12＝140人。週2回以下は35＋63＝98人、週3回以上は10＋20＋12＝42人で、表10-1と一致します。
10-2 合計230分、平均230÷6＝38.333…分、中央値35分、最頻値30分です。散布図は横軸を来館回数（回/週）、縦軸を学習時間（分）にし、6組を点で表します。
10-3 記入例は「回答者140人のうち週3回以上の人は42人で、割合は42÷140＝30％だった。任意回答者内の結果なので、全学生には一般化できない」です。問い、数値の根拠、対象の範囲が含まれていれば、別の文でもよいでしょう。
10-4 標本比率は40÷100＝0.40です。標本比率の標準誤差は√{0.40×0.60÷100}≈0.04899、95%近似区間は0.40±1.96×0.04899≈[0.304, 0.496]です。帰無仮説p₀＝0.30の標準誤差は√{0.30×0.70÷100}≈0.04583、z≈(0.40−0.30)÷0.04583＝2.182です。|z|>1.96なので、仮定のもとで5%水準で棄却します。元の任意回答140人とは異なる無作為標本の設定です。
考えよう・グループで話そう
6人の記録では、来館回数が0回から5回へ増える順に、学習時間も20分から60分へ大きくなる並びがあります。したがって、この6人の記録に正の関連が見えるとは言えます。しかし、6人だけの観察記録から来館が学習時間を増やしたとは言えません。学習の目的や授業予定など、別の要因がありえます。
140人の資料から回答者内の割合を見ます。6人の記録は、来館回数と学習時間の組です。月別資料は延べ回数の推移を示します。全学生の傾向には、対象者や選び方、回答の有無を確認します。個人記録と延べ数は別に扱います。
ワークシート
頻度の比較には表10-2と棒グラフ、二変数の関係には表10-3と散布図、月ごとの変化には折れ線グラフを選びます。各図に対応する人数、回/週と分、延べ回という単位を示せばよいでしょう。